Gebrochenrationale Funktionen

Was sind gebrochen rationale Funktionen?

Echt gebrochen rationale Funktion vs. unecht gebrochen rationale Funktion

Man unterscheidet zwei Arten von gebrochen rationalen Funktionen:

• Eine echt gebrochen rationale Funktion liegt vor, wenn der Grad (die höchste $x$-Potenz) des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms.

• Eine unecht gebrochen rationale Funktion hat ein Zählerpolynom, dessen Grad mindestens genauso groß wie der des Nennerpolynoms ist.

Eine unecht gebrochen rationale Funktion lässt sich durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganzrationalem und echt gebrochen rationalem Anteil zerlegen.

Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen haben besondere Merkmale, die bei der Analyse der Funktionskurven eine wichtige Rolle spielen:

Definitionslücken und Polstellen

Eine gebrochen rationale Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen der Nenner $q(x)$ gleich null ist (also an den Nullstellen der Polynomfunktion im Nenner). Solche Stellen heißen Definitionslücken. Ist die Definitionslücke nicht durch Kürzen des Funktionsterms zu beseitigen, spricht man von einer Polstelle.

Asymptoten gebrochen rationaler Funktionen

Ein wichtiges Merkmal gebrochen rationaler Funktionen sind die sogenannten Asymptoten. Diese sind Geraden, denen sich der Graph der Funktion immer weiter annähert, ohne sie zu erreichen.

Es gibt:

• senkrechte Asymptoten an Polstellen,
• waagerechte Asymptoten, wenn der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem des Nenners ist,
• schräge Asymptoten, wenn der Grad des Zählers genau um $1$ größer ist als der des Nenners.

Asymptoten verhalten sich ähnlich wie eine „magnetische“ Grenze, die von der Kurve nicht überschritten wird, egal wie nah sie ihr kommt.

Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

Die Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen beinhaltet typischerweise folgende Schritte:

1. Definitionsbereich bestimmen: alle Werte von $x$, für die der Nenner nicht null wird
2. Nullstellen berechnen: Zähler gleich null setzen und lösen
3. Polstellen und Definitionslücken bestimmen: Nenner gleich null setzen und überprüfen, ob der Funktionsterm kürzbar ist
4. Asymptoten bestimmen: horizontale, vertikale oder schräge Asymptoten
5. Extrempunkte und Wendepunkte berechnen: Ableitungen bestimmen, um lokale Hoch-, Tiefpunkte und Wendepunkte zu finden

Ein weiteres, typisches Aufgabenformat ist die Rekonstruktion von gebrochen rationalen Funktionen.

Aufgaben zu gebrochen rationalen Funktionen

Ausblick – das lernst du nach gebrochen rationalen Funktionen

Als Nächstes kannst du dein Wissen über die Ableitungen vertiefen, um weitere Funktionsanalysen durchzuführen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gebrochen rationale Funktionen